Czym są liczby pierwsze i jak je stosować?
Czym jest liczba pierwsza? Jak je rozpoznać? Czym się charakteryzują? Kiedy możemy je zastosować? Na te i inne pytania postaram się odpowiedzieć w poniższym artykule.
W matematyce jest wiele pojęć, które powodują, że "włos jeży się na głowie". Liczby pierwsze, liczby rzeczywiste, naturalne, parzyste, nieparzyste... Tego jest tak wiele, że ciężko to nie tyle zdefiniować. Co również rozróżnić i odpowiednio zastosować. W niniejszym artykule postaram się wyjaśnić liczby pierwsze.
Liczby pierwsze to liczby naturalne, większe od jeden, które dzielą się przez jeden i przez samą siebie. Mówiąc językiem matematycznym są to liczby, które mają dwa dzielniki. Natomiast liczby, które mają więcej niż dwa dzielniki to liczby złożone. Liczby złożone to przeciwieństwo liczb pierwszych. Przykłady początkowych liczb pierwszych to : 2, 3, 5, 7, 11.
Liczbę pierwsza można zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych, z czego jedna to ona sama a druga to „1”. Jako przykład można podać, że liczbę „2” można zapisać jako 2 = 2 * 1. Jeśli daną liczbę można zapisać jako iloczyn dwóch dowolnych liczb naturalnych, jest to liczba złożona. Jako przykład mogę podać 6 = 2 * 3 lub 6 = 2 * 3 * 1. Liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn więcej niż dwóch liczb naturalnych. Dobrym przykładem może być liczba 210 =2*3*7*5. Zatem dochodzimy do wniosku, że liczba 210 jest liczbą złożoną.
Liczby pierwsze są bardzo specyficzne, ponieważ nie każdy sobie zdaje sprawę z ich ważności w matematyce a przede wszystkim w informatyce. To na ich podstawie buduje się różnego rodzaju algorytmy oraz szyfrowania kodów.
Wyjątkami są jak zwykle cyfry 0 oraz 1. Jeden jest podzielne przez jeden i przez samą siebie, lecz nie ma dwóch dzielników. Jeden jest jej jedynym dzielnikiem. Zatem 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Pierwszą osobą, która zajęła się badaniami liczb pierwszych, był Euklides. Sformułował pierwsze twierdzenie arytmetyki: „Każda liczba naturalna większa od jeden jest albo liczbą pierwszą, albo da się ją jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.” Drugim twierdzeniem skonstruowanym przez Euklidesa jest twierdzenie: „Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.”
Opierając się o liczby pierwsze, możemy wyliczyć lub wyjaśnić matematycznie kilka zasad matematycznych. Zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, nie wiadomo, więc ile dokładnie jest liczb pierwszych. Były liczne próby policzenia, ile dokładnie jest liczb pierwszych, lecz próby te zakończyły się niepowodzeniem. Po pierwsze, dlatego że ręcznie jest to ciężkie do wykonania. Pomocy szukano w rozwiązaniach komputerowych. Niestety systemy komputerowe mogły poradzić sobie, co najwyżej z 32 cyfrową liczbą. Przy większej ilości cyfr system nie radził sobie z obliczeniami, a także wyświetleniem końcowym liczby.
Jak zatem rozpoznać, która liczba jest liczbą pierwszą, a która jest liczbą złożoną? Bardzo prosto wystarczy wypisać jej wszystkie dzielniki. Weźmy, jako przykład kilka liczba naturalnych. Jedynka została wcześniej omówiona, więc idźmy dalej. Na przykład liczba 2 dzieli się przez „1” i przez „2” czyli samą siebie. Wniosek nasuwa się sam. Liczba dwa jest liczbą pierwszą. Co z następną? Cyfra „3” dzieli się przez „1” oraz przez „3” czyli samą siebie. Tak, więc ma dwa dzielniki. Warunek został spełniony. Kolejną cyfrą, jaką przeanalizujemy to cyfra 4. Czwórka dzieli się prze „1”, „2” oraz „ 4” czyli samą siebie. Zatem cyfra 4 ma aż trzy dzielniki. Czyli o jeden więcej niż powinna, aby być liczbą pierwszą. Dochodzimy do wniosku, że cztery nie jest liczbą pierwszą. Skoro tak to jest liczbą złożoną. W ten sposób można analizować każdą dowolnie wybraną liczbę naturalną. Do liczb naturalnych zaliczają się wszystkie liczby dodatnie i całkowite. Podsumowując liczby pierwsze to liczby, o których mało się mówi i często o nich zapominamy. Nie zdajemy sobie sprawy, że używamy je, na co dzień używając komputera lub korzystając z telefonu, emaila czy pinu do karty bankomatowej.
Jak widać matematyka jest bardzo ciekawa, a najciekawsze w niej jest to, że ciągle Nas zaskakuje. Dlaczego? Dlatego, że otaczamy się nią cały czas, a nie zdajemy sobie z tego w ogóle sprawy. Matematyka nie tylko ułatwia Nam życie, lecz jest czynnikiem składowym naszego życia. Bez względu czy ktoś ją lubi czy nie - otaczamy się nią a między innymi liczbami pierwszymi. Chociaż nie zdajemy sobie z tego sprawę. Chociażby dlatego, może warto ją polubić.
