Logika matematyczna to zbiór reguł i zasad wnioskowania, którymi posługujemy się tworząc różne teorie matematyczne. Znajomość logiki jest istotna w matematyce, ale również w innych dziedzinach nauki, a przede wszystkim w życiu codziennym. Umożliwia zrozumienie i analizowanie różnego typu informacji oraz wyciąganie wniosków. Każdy, kto posługuje się wnioskowaniem, musi umieć rozpoznać rozumowanie poprawne i niepoprawne. Logika jest narzędziem, z którego korzystamy na co dzień.
Czy rozumowanie zamieszczone w dzisiejszej gazecie jest poprawne czy nielogiczne? Pytamy o jego poprawność z punktu widzenia logicznej argumentacji. W rozstrzygnięciu tej kwestii może pomóc logika, która zajmuje się rygorystycznymi zasadami rozumowania.
Matematycy starają się uzasadniać swoje twierdzenia dowodami. To poszukiwanie żelaznych, racjonalnych argumentów jest siłą napędową matematyki teoretycznej. Łańcuch poprawnej dedukcji, wychodzącej od tego, co jest znane lub przyjęte jako założenie, doprowadza matematyka do wniosku, który staje się w ten sposób częścią uznanych zasobów matematyki.
Podobnie jak w prawie – w matematyce wszystko musi zostać udowodnione, zanim zostanie uznane za prawdę. Często znacznie trudniej jest coś udowodnić niż to odkryć i zdecydować, że prawie na pewno jest prawdą. Niekiedy potrzeba wielu stuleci, by udowodnić jakieś twierdzenie, tak jak to było w przypadku wielkiego twierdzenia Fermata czy hipotezy Riemanna (wciąż nieudowodnionej).
„Każde zadanie, które rozwiązałem, stawało się regułą, którą posługiwano się później w celu rozwiązywania innych zadań” - Kartezjusz
Największe arcydzieło literatury matematycznej - „Elementy” greckiego matematyka z IV w.p.n.e. - Euklidesa są klasycznym przykładem rozumowania logicznego i metody dedukcyjnej. Do dziś na świecie ukazało się ponad 1000 edycji „Elementów”. Jedynie Biblia miała większą ilość wydań.
Kilka wieków później, jeden z najsłynniejszych filozofów i matematyków w dziejach świata - Kartezjusz w „Rozprawie o metodzie” opisał, w jaki sposób posługuje się rozumem przy wnioskowaniu.
Dowód w matematyce stanowi jedynie część szerszego zagadnienia, jakim jest logika, która rozwijała się od czasów starożytnej Grecji. Pierwszym autorem tekstów na temat logiki był Platon. Jego rozprawy w formie dialogów prowadzonych przez filozofów należą do najważniejszych tekstów filozoficznych i arcydzieł literatury. Najistotniejsza w „Dialogach” jest wymiana argumentów. Każdy z rozmówców w kilku zdaniach przedstawia własną opinię, a rolą przeciwnika jest jej obalenie i ukazanie tkwiącej w niej sprzeczności przy użyciu logicznych argumentów. Ta metoda zwana dialektyką, stała się modelem logicznej argumentacji. Uczeń Platona, Arystoteles znacznie rozwinął dialektykę i sformułował kluczowe dla logiki pojęcia, podkreślając znaczenie metody dedukcyjnej.
Zastosowania:
Rozwój komputeryzacji w XX w. stworzył nowe pole działania dla logiki i matematyki. Programy komputerowe posługują się sekwencjami logicznymi w celu przeprowadzenia kalkulacji. Stanowi to podstawę wszystkich aplikacji komputerowych, nawet tych, które w niczym nie przypominają matematyki - animacji, produkcji muzycznych, obróbki obrazów. Gdyby nie logika, nie byłoby współczesnej, wysoko rozwiniętej elektroniki i komputeryzacji.
