Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym konceptem, który pozwala nam zrozumieć i przewidywać zachowanie niepewnych systemów, od rzutu monetą po kwantową mechanikę. Ale czasem, intuicje dotyczące prawdopodobieństwa mogą być zaskakująco błędne, prowadząc do niezwykłych paradoksów. Dwa z najbardziej znanych to Paradoks Monty Halla i Paradoks Urodzin. Zajmijmy się nimi bliżej.
Paradoks Monty Halla
Paradoks Monty Halla to problem prawdopodobieństwa, który pochodzi od gry z amerykańskiego teleturnieju "Let's Make a Deal", prowadzonego przez Monty'ego Halla. W tej grze, uczestnik miał wybór między trzema drzwiami. Za jednymi z drzwi był samochód (nagroda główna), a za pozostałymi dwoma były kozły (brak nagrody).
Proces gry wyglądał następująco:
- Uczestnik wybierał jedne z trzech drzwi, ale nie otwierał ich od razu.
- Monty Hall, który znał, co było za każdymi drzwiami, otwierał jedne z dwóch pozostałych drzwi, które zawsze ukazywały kozła.
- Następnie uczestnik miał możliwość utrzymania swojego pierwotnego wyboru lub zmiany wyboru na inne, jeszcze nieotwarte drzwi.
Paradoks polega na tym, że intuicyjnie możemy myśleć, że prawdopodobieństwo wygranej jest takie samo, niezależnie od tego, czy zmienimy swój wybór (50-50), ale matematyka pokazuje, że zawsze lepiej jest zmienić wybór po otwarciu jednych z drzwi przez Monty'ego.
Początkowo prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za wybranymi drzwiami wynosi 1/3, natomiast prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za jednymi z dwóch pozostałych drzwi wynosi 2/3. Kiedy Monty otwiera jedne z pozostałych drzwi, pokazując kozła, prawdopodobieństwo, że samochód jest za naszymi pierwotnie wybranymi drzwiami, nadal wynosi 1/3, ale prawdopodobieństwo, że samochód jest za drzwiami, które nie wybraliśmy (i których Monty nie otworzył), wynosi teraz 2/3. Tak więc, zwiększamy swoje szanse na wygraną z 1/3 do 2/3, zmieniając wybór po tym, jak Monty odsłonił jedne z drzwi.
Paradoks Urodzin
Paradoks urodzin mówi, że prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby w grupie 23 osób mają te same urodziny, wynosi ponad 50%. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać zaskakujące, biorąc pod uwagę, że w roku jest 365 dni. Ale matematyka znowu pokazuje coś innego.
To wynika z faktu, że liczba par, które mogą być porównane w grupie, rośnie znacznie szybciej niż liczba osób. W grupie 23 osób jest 253 pary, które można porównać, a to daje wystarczająco dużo szans na dopasowanie daty urodzenia.
Obydwa te paradoksy pokazują, jak intuicja może czasem wprowadzić nas w błąd, kiedy próbujemy zrozumieć skomplikowane zasady prawdopodobieństwa. Pokazują również, że nasze naturalne odczucia prawdopodobieństwa i losowości często nie odpowiadają matematycznym prawom rządzącym tymi procesami.
Paradoks Bertranda
Paradoks Bertranda, zaproponowany przez francuskiego matematyka Josepha Bertranda w 1889 roku, pokazuje jak różne metody losowania mogą prowadzić do różnych wyników, co wydaje się być sprzeczne z naszą intuicją.
Przypuśćmy, że mamy okrąg i wewnątrz tego okręgu jest równoboczny trójkąt. Zadanie polega na losowym wyznaczeniu linii (chordy) w tym okręgu. Pytanie brzmi: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana linia będzie dłuższa niż bok trójkąta wpisanego w ten okrąg?
Wygląda na to, że odpowiedź zależy od sposobu, w jaki "losujemy" linie. Jeśli wybieramy losowo dwa punkty na obwodzie okręgu i łączymy je, to okazuje się, że prawdopodobieństwo, że linia jest dłuższa niż bok trójkąta wynosi 1/2. Ale jeśli najpierw wybieramy losowy promień, a następnie wybieramy losowy punkt na tym promieniu i rysujemy linię do przeciwległego punktu na okręgu, prawdopodobieństwo wynosi 1/3. Jeszcze inna metoda polega na wybraniu losowego punktu wewnątrz okręgu, a następnie wyznaczeniu linii do dwóch punktów na okręgu - wtedy prawdopodobieństwo wynosi 1/4.
To pokazuje, że nasze intuicje dotyczące prawdopodobieństwa mogą być mylące i że matematyczne definicje losowości i prawdopodobieństwa są bardziej subtelne, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Paradoks Bertranda jest kolejnym przykładem na to, że prawdopodobieństwo nie zawsze jest tak oczywiste, jak mogłoby się wydawać.
Paradoks Prawdopodobieństwa Bayesa
Jeszcze jeden paradoks, który warto tutaj omówić, to Paradoks Prawdopodobieństwa Bayesa. Często mówi się, że jeśli test na pewną chorobę jest 99% pewny, a wynik jest pozytywny, to mamy 99% szans na to, że jesteśmy chorzy. Ale jest to błędne rozumowanie.
Tak naprawdę, aby obliczyć prawdopodobieństwo, że jesteśmy chorzy, musimy znać tzw. prawdopodobieństwo a priori, czyli prawdopodobieństwo, że ktoś z populacji ma tę chorobę. Jeżeli choroba jest rzadka, powiedzmy że zdarza się 1 na 10 000 osób, to nawet test o 99% skuteczności daje duże prawdopodobieństwo fałszywie pozytywnego wyniku. Ta intuicja jest często przeciwna do naszych naturalnych odczuć, stąd pochodzi paradoks.
Podsumowanie
Paradoksy prawdopodobieństwa są fascynującym aspektem matematyki i statystyki. Pozwalają one na zrozumienie, jak nasze intuicje mogą nas wprowadzać w błąd w zrozumieniu i prognozowaniu zjawisk losowych. Choć na pierwszy rzut oka mogą wydawać się sprzeczne z codziennym doświadczeniem, dokładne analizy matematyczne zawsze prowadzą do prawidłowych i logicznych, choć nierzadko zaskakujących wniosków. To pokazuje, że nauka - nawet taka abstrakcyjna jak teoria prawdopodobieństwa - ma fundamentalne znaczenie dla naszego zrozumienia świata.
Niech te paradoksy będą przypomnieniem, że nauka często prowadzi nas poza granice intuicji, oferując nam bogatsze i bardziej precyzyjne zrozumienie rzeczywistości. Kto wie, jakie inne paradoksy prawdopodobieństwa czekają na odkrycie?
