Układy równań liniowych

Układy równań dla wielu uczniów potrafią być bardzo męczące I niezrozumiałe. Sprawa jednak wcale nie jest taka skomplikowana.

W układach równań mamy dwa sposoby na ich rozwiązywanie – metoda podstawiania, która działa zawsze, oraz metoda przeciwnych współczynników, która działa tylko dla układów równań liniowych (tj. takich, gdzie niewiadome są w pierwszej potędze oraz nie są ze sobą mnożone lub dzielone).



Metoda podstawiania
Weźmy przykładowe zadanie:
3 zeszyty i długopis kosztują 3,50 zł, natomiast 5 zeszytów i 5 długopisów kosztuje 7,50 zł. Oblicz cenę zeszytu i długopisu.
Oznaczmy cenę zeszytu przez z oraz cenę długopisu przez d. Układ równań jaki musimy tutaj stworzyć jest następujący.

3z+d = 3,5
5z+5d = 7,5

1)Rozwiążmy układ z użyciem metody podstawiania.
W metodzie podstawiania musimy wyrazić jedną niewiadomą za pomocą drugiej (na przykładzie można powiedzieć, że kilogram kapusty tyle, co kilogram ziemniaków i dodatkowo 1 zł. Uzależniliśmy więc cenę kapusty od ceny ziemniaków). W praktyce polega to po prostu na przekształceniu jednego z równań do postaci z=… lub d=…
Wyznaczmy z pierwszego równania d:
3z + d = 3,5  /-3z
d = 3,5 - 3z
wiemy zatem, że cena długopisu to 3,50 zł pomniejszone o cenę 3 zeszytów. Zatem cena dwóch długopisów to 7 zł pomniejszone o cenę 6 zeszytów itd. Zapisujemy nasz układ równań i wstawiamy zatem nasze nowe wyrażenie do drugiego równania

d = 3,5 - 3z
5z+5d = 7,5

Podmieniam symbol d na nasze wyznaczone wcześniej wyrażenie i otrzymujemy

d = 3,5 - 3z
5z+5(3,5 - 3z) = 7,5,
Otrzymaliśmy równanie tylko z jedną niewiadomą, co da się rozwiązać bez problemu.

5z+5(3,5 - 3z) = 7,5,
5z+17.5-15z = 7,5  /-17,5
-10z = -10  /: (-10)
z=1
Obliczyliśmy cenę zeszytu. Przypominamy sobie, że cena długopisu to
d = 3,5 - 3z
i wstawiamy za z obliczone 1.
Zatem
d = 3,5 -3*1= 0,5
Voila, zadanie rozwiązane.


2) Metoda przeciwnych współczynników.
Metoda przeciwnych współczynników również polega na pozbyciu się jednej z niewiadomych. Uzyskujemy to jednak w nieco odmienny sposób. Popatrzmy ponownie na nasze równanie

3z+d = 3,5
5z+5d = 7,5

W metodzie przeciwnych współczynników doprowadzamy oba równania do takiej postaci, aby w pierwszej i drugiej linijce było tyle samo zeszytów lub tyle samo długopisów. W praktyce wystarczy jedną lub obie linijki pomnożyć tak, aby liczby się zrównały. Przykładowo tutaj jedną z możliwości jest pomnożenie pierwszej linijki przez 5, aby zrównać liczbę długopisów.

3z+d = 3,5  /*5
5z+5d = 7,5

15z+5d = 17,5
5z+5d = 7,5

W tym momencie należy równania od siebie odjąć stronami (tj. od lewej strony odejmujemy lewą, od prawej prawą) i otrzymamy

15z+5d-(5z+5d) = 17,5 – 7,5
10z=10
z=1
Obliczone  wstawiamy do któregokolwiek z poprzednich równań (są one sobie równoważne, więc dadzą taki sam wynik) np. tutaj 3z+d = 3,5
3*1+d = 3,5  /-3
d=0,5

Obie metody dają identyczne wyniki i obu metod uczy się w szkole. Metoda przeciwnych współczynników jest częściej preferowana, bo łatwiej w niej unikać ułamków. Ja jednak preferuję metodę podstawienia ze względu na jej uniwersalność i zastosowanie  w innych układach równań.