Całkowanie funkcji złożonych lub iloczynów funkcji nie jest proste. Wykorzystujemy do tego tzw. całkowanie przez części.
Skąd bierze się wzór na całkowanie przez części? Już pokazuję.
Weźmy iloczyn dwóch funkcji f i g. Pochodna tego iloczynu wygląda następująco
(fg)’ = f’g + fg’.
Przekształcamy nasze wyrażenie do postaci
fg’ = (fg)’ - f’g
Następnie całkujemy stronami i otrzymujemy wyrażenie
∫fg’ dx= ∫(fg)’ dx - ∫f’g dx,
∫fg’ dx= fg - ∫f’g dx.
Voila, mamy wzór. Oczywiście rolę f i g można zamienić, to tylko symbole. Jak widać, wzór na całkowanie przez części uzyskaliśmy ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. To ważne, bo całkowanie przez części częściej pojawia się przy całkach, gdzie funkcją podcałkową jest iloczyn dwóch funkcji (niebędących wzajemnie swoimi pochodnymi).
Jak widać w ostatnim wzorze, do obliczenia całki z lewej strony, potrzebujemy najpierw scałkować funkcję g oraz policzyć pochodną funkcji f. Studenci często mają problem z dobieraniem co całkujemy (g’) a co różniczkujemy (f). Już pokazuję kilka utartych schematów.
Jeżeli pod całką występuje iloczyn wielomianu dowolnego stopnia ( P(x) ) oraz dowolnej funkcji wykładniczej, sinusa lub cosinusa (zbiorczo nazwę te 3 funkcje akronimem esc(x)) to nasza całka wygląda jak poniżej
∫P(x)*esc(x) dx.
Jako funkcję f bierzemy zawsze wielomian, jako g’ zawsze bierzemy funkcję wykładniczą, sinus lub cosinus. Można spytać dlaczego? Można. Otóż przy liczeniu pochodnej funkcji f (tj. wielomianu) stopień wielomianu się zmniejsza, a całkując wyrażenie esc(x) zostaje ono dalej tego samego typu (tzn. dalej jest funkcją wykładniczą, sinusem lub cosinusem). Stosując całkowanie przez części odpowiednią ilość razy wielomian P(x) w końcu stanie się wielomianem stopnia 0 (tj. zwykłą liczbą) i dostaniemy całkę
∫c*esc(x) dx, c=const,
która jest całką elementarną. Gdybyśmy założyli odwrotnie, nasz wielomian zwiększałby swój stopień (w wyniku całkowania), co prowadziłoby do całki trudniejszej, zamiast łatwiejszej.
Jeżeli pod całką występuje dowolna funkcja cyklometryczna (arcus) lub logarytm (zbiorczo nazywam tę funkcję przez al(x) ) oraz wielomian ( P(x) ) mamy całkę
∫al(x)*P(x) dx.
W takiej sytuacji zakładamy odwrotnie – wielomian ląduje jako funkcja g’ do całkowania, natomiast al(x) leci do różniczkowania jako f. Dostaniemy wtedy do scałkowania funkcję wymierną lub funkcję sprowadzalną do funkcji wymiernej (np. podstawieniem Eulera), którą następnie całkujemy za pomocą rozkładu na ułamki proste, co jest… względnie proste.
Pamiętając o tych dwóch regułach zdecydowaną większość całek rozwiązujemy bez większego trudu ;)
Jeden przykład na poparcie wywodu.
∫(x/2+3)*ln(x) dx= {f=lnx, g’=x/2+3, f’=1/x, g=x^2+3x}=
= (x^2+3x)lnx- ∫1/x*(x^2+3x)dx=(x^2+3x)lnx- ∫x+3dx=(x^2+3x)lnx - (1/2*x^2+3x) + C
