Zadania optymalizacyjne to zadania trudne, jednak rachunek różniczkowy niesie ze sobą mnóstwo praktycznych zastosowań jak optymalizowanie wydajności/kosztu procesu przy zadanych parametrach (szukanie ekstremum, najczęściej funkcji wielu zmiennych), modelowanie zachowania populacji zwierząt czy rozprzestrzeniania się wirusów, obliczenia związane z wytrzymałością materiałów i przewodzeniem cieplnym. Mimo dużego poziomu trudności, jak wszystko, da się te zadania zalgorytmizować.
Posłużę się zadaniem z maja 2020.
„Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda. Ekran ma mieć powierzchnię 60 cm^2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których sama powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.”
- W kroku pierwszym zawsze trzeba zidentyfikować, jaką wielkość mamy do zoptymalizowania. Najczęściej jest to długość, pole lub objętość. W powyższym zadaniu jest to pole (projektujemy ekran smartfona). Wypisujemy wzór na pole prostokąta (samego ekranu) P=ab.
- W kroku drugim musimy przekształcić wzór z punktu 1 na taki, aby zawierał tylko jedną zmienną.
Wzór z punktu 1 zawiera zawsze 2 zmienne, tutaj a i b. Naszym celem jest policzenie pochodnej, bo to jest nasze narzędzi do optymalizacji. Ponieważ w liceum używamy tylko pochodnej funkcji jednej zmiennej, dlatego musimy jednej ze zmiennych się pozbyć. W celu wyrugowania jednego z dwóch argumentów funkcji trzeba skorzystać z treści zadania i warunku tam postawionego. U nas warunkiem/założeniem jest, że ekran ma mieć pole 60 cm^2. Rozpisujemy więc
60=ab z czego wynika b=60/a.
Pole całego smartfona jest większe o szerokość ramki (0,3 z lewej, 0,3 z prawej oraz 0,5 z góry i 0,5 z dołu), co uwzględniamy we wzorze poniżej.
P=(0,3+0,3+a)(0,5+0,5+b)=(0,6+a)(1+b).
Podstawiamy wyliczone wcześniej b=60/a a potem mamy już tylko liczenie, główkowanie kończy się z grubsza w tym miejscu.
P=(0,6+a)(1+60/a)=a+36/a+60,6
Kiedy mamy wyznaczony wzór optymalizowanej wielkości w zależności od jednej zmiennej, możemy teraz szukać esktremum naszej funkcji (minimum lub maksimum, w zależności od treści). W tym celu po prostu liczymy pochodną funkcji oraz przyrównujemy ją do zera, tj. rozwiązujemy równanie f’(x)=0. Kiedy znajdziemy punkty podejrzane o istnienie ekstremum, należy pamiętać aby sprawdzić, czy pochodna zmienia znak w otoczeniu tego punktu. W przypadku braku sprawdzenia tego warunku odejmowany jest jeden punkt. Na innym przykładzie pokażmy, dlaczego jest to ważne. Niech f(x)=x^3. Wtedy f’(x)=3x^2. Funkcja f jest funkcją zawsze rosnącą, zatem nie posiadającą ekstremum, pomimo, że f’(0)=0. Wracając do naszego zadania. Obliczamy pochodną
f’(x)=1-36/a^2
Szukamy wartości ekstremalnej naszej funkcji, a więc rozwiązujemy równanie f’(x)=0
f’(x)=1-36/a^2=0. Stąd mamy 36/a^2=1, a^2=6, a=6 lub a=-6. Ponieważ a oraz b są długościami prostokąta a nie może przyjmować ujemnej wartości. Otrzymaliśmy zatem a=6
Po znalezieniu ekstremum jest to w zasadzie koniec zadania. Wystarczy tylko podstawić znaleziony punkt do wzoru na szukaną wielkość (tutaj wymiary smartfona) i gotowe. Mamy więc jeden wymiar a=6 oraz zależność b=60/a. Podstawiamy zatem i otrzymujemy b=60/6=10. Szukane wymiary smartfona mają zatem wartości 6cm oraz 10cm.
Schemat w skrócie
1 Identyfikujemy szukaną wielkość i wypisujemy na nią wzór. Wzór zawsze jest zależny od dwóch zmiennych (tu: pole P=ab).
2 z warunku z zadania wyznaczamy jedną z niewiadomych ze wzoru za pomocą drugiej (tu warunek 60=ab -> b=60/a). Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia z punktu 1
3 Wstawiamy wyznaczoną niewiadomą do wzoru 1 i otrzymujemy wzór zależny od 1 zmiennej.
4 Liczymy pochodną wzoru z punktu 3 i przyrównujemy do zera.
5 Sprawdzamy czy rozwiązania z punktu 4 są rzeczywiście ekstremami.
Gdzie łatwo zgubić punkty? 2 z 7 najłatwiej stracić na nieuwzględnieniu dziedziny funkcji oraz nie sprawdzeniu czy pochodna zmienia znak wokół punktu podejrzanego o istnienie ekstremum.
