Na maturze z matematyki na poziomie rozszerzonym pojawiają się zadania optymalizacyjne. Zdający musi wykazać się znajomością pochodnej funkcji oraz wyliczania jej ekstremów.
Na egzaminach maturalnych przeprowadzanych w latach 2015-2022 (wd. starej formuły) pojawiało się zawsze jedno zadanie, w którym uczeń musiał wykorzystać własności pochodnej funkcji. Za poprawne wykonanie takiego zadania abiturient mógł zdobyć od 6 do 7 pkt - co stanowiło 12-14% maks. ilości pkt. do zdobycia.
Pokażę Państwu, w jaki sposób poprawnie rozwiązywać zadania optymalizacyjne.
Przykładowe zadanie optymalizacyjne:
Dany jest prostokąt o obwodzie 100. Podaj długości boków tego prostokąta, który ma największe pole.
Rozwiązanie:
Krok 1.
Boki prostokąta oznaczamy niewiadomymi a i b. Zapisujemy obwód trójkąta za pomocą tych niewiadomych. Korzystając z informacji podanych w treści zadania uzależniamy jedną zmienną od drugiej.
Krok 2.
Ustalmy dziedzinę jednej ze zmiennych.
Krok 3.
Wyznaczamy wzór funkcji na pole prostokąta korzystając z wyznaczonego wcześniej a. Następnie liczymy pochodną oraz ekstremum tej funkcji. Na podstawie wykresu określamy czy wyznaczone przez nas ekstremum jest maksymalne czy minimalne. Sprawdzamy czy wyznaczone przez nas ekstremum należy do dziedziny funkcji P(b).
Krok 4.
Obliczamy największą wartość funkcji dla b max.
Na końcu formułujemy odpowiedź.
UWAGI:
-> Zamiast liczyć P(bmax) mogliśmy wyznaczyć wartość a i obliczyć pole prostokąta korzystając z podstawowego wzoru P=ab.
-> ZAWSZE należy wyznaczyć dziedzinę funkcji i sprawdzić czy wyznaczone przez nas ekstrema należą do niej.
-> Przypomnij sobie jak wyznacza się ekstrema funkcji oraz kiedy to ekstremum jest minimalne, a kiedy maksymalne.
-> Do każdego zadania optymalizacyjnego wartość sporządzić rysunek - jest on pomocny w dalszych obliczeniach.
-> Każde zadanie optymalizacyjne możesz wykonywać według powyższego schematu (kroki 1-4).
PRZYKŁADOWE ZADANIA OPTYMALIZACYJNE DO ROZWIĄZANIA:
1. Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 mଷ. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: – 100 zł za 1 mଶ dna – 75 zł za 1 mଶ ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Źródło:CKE 2021
2. Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 . Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Źródło: CKE 2020
3. Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 2. V = Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Źródło: CKE 2019
