Moduł- Wartość bezwzględna zarówno wobec ucznia, jak również w zadaniach.
Zapewne niejednokrotnie na drodze swojej matematycznej przygody spotkaliście się ze słynnym wyrażeniem matematycznym w oprawie dwóch lub większej ilości „pionowych kreseczek” (Tak bowiem moduł określa jeden z moich uczniów i chciałem się tym faktem z Państwem podzielić). Brzmi to strasznie, a wygląda jeszcze gorzej jednak absolutnie nie ma powodów do obaw, gdyż samo zagadnienie jest bardzo proste i zaraz postaram się pokazać jego bardzo szerokie zastosowanie.
W ujęciu podstawowym wartość bezwzględna, czyli moduł to wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Doskonałym przykładem jest zatem klika prostych równań:
|-5|=5 |4,5|=4,5 |-12*13|=12*13=156 |3/(-3)|=|-1|=1
Dodatkową, przydatną informacją na temat działania modułu jest jego graficzna interpretacja, otóż informuje on nas w jakiej odległości od 0 na osi liczbowej znajduje się szukana przez nas liczba. Odległość nie może być przecież ujemna, bo oznaczałoby to, że się cofamy, a przecież w matematycznej przygodzie chodzi przede wszystkim o to, żeby przeć naprzód w pogoni za wiedzą ????. Interpretacja graficzna na rysunku poniżej: (Przepraszam za jakość, zawsze jeśli chodzi o proste bliżej mi było do Picassa)
Ciekawszym zastosowaniem modułu jest jego użycie w przypadku niewiadomej otóż wyrażenie |x| ma swoją interpretację nieco bardziej rozbudowaną niż w przypadku typowej liczby rzeczywistej. Otóż:
|x|= { x dla x>0
-x dla x<0
Podstawiając liczby, naprawdę ma to sens (do samodzielnego przemyślenia dla ciekawskich)
Głównym wniosek z tej definicji przyniesie naszą umysłową implikację w stronę równań z modułem. Otóż w przypadku równań z wartością bezwzględną należy zatem pamiętać, że wyrażenie pod znakiem wartości bezwzględnej nie ma prawa być równe wartości ujemnej zatem wyrażenie:
|x-3|=-8 lub |x+5982|=-9 są SPRZECZNE, nawet nie ma sensu próbować ich rozwiązywać i wykazywać sprzeczność, gdyż wynika ona z definicji modułu (I taka informacja Państwa SZANOWNYM ???? Dydaktykom wystarcza.
Typowym zaś rozwiązaniem prawidłowo ułożonego równania z modułem jest podejście dwu lub jednowynikowe. Przykładowo: (Przypominam, że „à” to znak implikacji zaś „v” to znak alternatywy, oznaczający że x będzie należeć do zbioru kilkuelementowego, w tym przypadku będzie to zbiór dwuelementowy)
|x+7|=3 rozwiążemy w sposób następujący:
|x+7|=3à x+7=3 v x+7=-3 àx=-4 v x=-10
Należy wspomnieć, że w równaniu typu:
|x+2|=0 rozwiązaniem jest oczywiście x=-2 i nie rozwódźmy się proszę nad tym dlaczego tak jest, gdyż na tym poziomie pewne rzeczy w matematyce są oczywiste, natomiast warto o tym wspomnieć
Zgódźmy się, że nie jest większym problemem obliczenie tego typu równania. Kłopoty można jednak napotkać, gdy pojawi się taki przykład:
||||3|4x+5/8|+3|+7|=4 (Polecam samodzielną zabawę w oparciu o poprzednio uzyskane informacje)
Kolejnym ciekawym typem równań jest sytuacja gdy mamy do czynienia z sumą kliku wyrażeń pod wartością bezwzględną np.:
|x+2|-|x-1|=7
Rozwiązanie tego typu zadań opiera się na dobieraniu dziedziny równania i opuszczaniu znaków modułów zgodnie z tym, czy są one ujemne bądź nie. Jednak to temat na inny artykuł.
Bardzo częstym błędem, który jest dość banalny do wykrycia, acz często pomijany przez uczniów to sytuacja gdy wynikami równania modułowego są dwie liczby przeciwne. Przykład:
|x+16|=3à x+16=3 v x+16=-3 à x=19 v x=-19
Oczywiście błąd jest tutaj celowy, natomiast zwracam uwagę, że taka sytuacja często się wydarza i gdy na nią napotkamy to na 99% powinna zapalić się lampka pt. „błąd”. Otóż taka sytuacja przy rozwiązywaniu równań nie ma prawa się pojawić i jest najczęściej wynikiem nieuwagi przy przepisywaniu na drugą stronę równania liczby bez niewiadomej! Przed tym typem błędu należy się wystrzegać!
Moduł jest także bardzo istotny przy prostych działaniach matematycznych. Otóż gdy raczymy wyrażenie podniesione już do kwadratu spierwiastkować to na miejsce naszej operacji pojawia się właśnie wartość bezwzględna. Przykład:
√ (4x^2)= |4x| dlaczego??
Otóż podstawmy x=5 i na potrzeby tłumaczenia pozbądźmy się czynnika w postaci 4
25=5^2 (Fakt nie opinia) zatem:
√25=5 v -5, ponieważ 5^2=25 i (-5)^2=25 (jedyna sytuacja, w której należy pominąć początkową definicję, przykład mocno uproszczony, żeby można było je przenieść na trudniejsze)
Dokładniejsze i bardziej poprawne zastosowanie tej sytuacji
√(x+2)^2=16 --> |x+2|=16 --> x+2=16 v x+2=-16 --> x=14 v x=-18
I jedna i druga liczba podniesiona do kwadratu da nam liczbę 25 (Wyjątek od reguły, o którym należy pamiętać).
O przekształceniu modułu w funkcjach jak i rozwiązywaniu trudniejszych zadań z wartością bezwzględną, dowiedzieć się można szerzej w następnych artykułach mojego autorstwa, które pojawią się niedługo. Wiedzę można zgłębiać także w Internecie, na zajęciach zadając niewygodne pytania lub na wspólnej nauce ze mną. Do każdej z tych aktywności gorąco zachęcam. Hasło przewodnie mojego bloga jak i zajęć jest proste: Nie bój się matematyki, bo to jedyna zero-jedynkowa rzecz w Twoim życiu.
