Liczebność zbiorów - zagadnienia nieskończoności w matematyce

Liczebność zbiorów to pojęcie, które po raz pierwszy zostało zdefiniowane przez niemieckiego matematyka Georga Cantora na przełomie XIX i XX wieku. Przełomowe odkrycia Cantora dotyczące nieskończoności zmieniły matematykę na zawsze.1. Pojęcie liczebnościCantor wprowadził pojęcie liczebności zbioru, aby mierzyć "rozmiar" zbiorów, w szczególności tych nieskończonych. Dwa zbiory mają taką samą liczebność, jeżeli istnieje między nimi bijekcja, czyli funkcja, która każdemu elementowi jednego zbioru przypisuje dokładnie jeden element drugiego zbioru i odwrotnie.2. Liczebność zbiorów skończonych i nieskończonychDla zbiorów skończonych liczebność jest równa liczbie elementów w zbiorze. Ale kiedy przyjrzymy się zbiorom nieskończonym, rzeczy stają się bardziej interesujące. Cantor pokazał, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych mają taką samą liczebność, mimo że intuicyjnie mogłoby się wydawać, że liczb całkowitych jest dwa razy więcej. Również zbiór liczb wymiernych ma tę samą liczebność co zbiór liczb naturalnych.3. Różne "rozmiary" nieskończonościNajbardziej kontrowersyjnym i fascynującym wynikiem prac Cantora jest odkrycie, że istnieją różne "rozmiary" nieskończoności. Zbiór liczb rzeczywistych jest "większy" niż zbiór liczb naturalnych, pomimo że oba są nieskończone. Cantor nazwał liczebność zbioru liczb naturalnych nieskończonością przeliczalną, a liczebność zbioru liczb rzeczywistych - nieskończonością niewliczalną.4. Hipoteza continuumCantor zaproponował również hipotezę continuum, która mówi, że nie istnieje żaden zbiór o liczebności większej niż liczebność zbioru liczb naturalnych, ale mniejszej niż liczebność zbioru liczb rzeczywistych. To twierdzenie stanowiło jedno z najbardziej znanych nierozwiązanych problemów matematyki aż do XX wieku.5. Wpływ prac CantoraPomimo początkowego oporu, prace Cantora wywarły ogromny wpływ na rozwój matematyki. Jego koncepcje nieskończoności są teraz fundamentalnym elementem teorii mnogości, która stanowi podstawę wszystkich matematyk.6. Filozoficzne implikacjePomysły Cantora wywołały również szereg filozoficznych pytań. Czy nieskończoność istnieje tylko jako abstrakcyjne pojęcie matematyczne, czy ma też rzeczywiste zastosowanie w fizycznym świecie? Czy różne "rozmiary" nieskończoności mogą pomóc nam lepiej zrozumieć strukturę wszechświata? Te pytania do tej pory inspirują zarówno matematyków, jak i filozofów.7. Nieskończoność w praktyceChociaż nieskończoność może wydawać się tematem abstrakcyjnym i teoretycznym, ma ona szereg praktycznych zastosowań. W teorii gier, nieskończoność jest używana do modelowania strategii optymalnych. W fizyce kwantowej, pojęcie nieskończoności jest kluczowe dla zrozumienia właściwości cząstek subatomowych.PodsumowanieOdkrycia Cantora dotyczące liczebności zbiorów i nieskończoności zmieniły nasze postrzeganie matematyki i nieskończoności. Wprowadzenie pojęcia różnych "rozmiarów" nieskończoności było prawdziwie rewolucyjne i zainspirowało kolejne pokolenia matematyków do dalszych badań. Dzisiaj te pomysły stanowią podstawę matematyki, mają wpływ na wiele innych dziedzin nauki i kontynuują wywoływanie fascynujących filozoficznych dyskusji.Prace Cantora pokazują, że matematyka to nie tylko narzędzie do opisu świata, ale także dziedzina pełna kreatywności, innowacji i piękna. Dzięki badaniu nieskończoności Cantor nie tylko przyczynił się do rozwoju matematyki, ale także poszerzył nasze zrozumienie możliwości ludzkiego umysłu.

Jakub M.

Tajemnica liczb pierwszych

Liczby pierwsze to coś więcej niż tylko liczby, które można podzielić tylko przez siebie i jeden. Stanowią matematyczną tajemnicę, której sekrety matematycy próbują odkryć, odkąd Euklides dowiódł, że jest ich nieskończenie wiele.Trwający projekt – Great Internet Mersenne Prime Search – którego celem jest odkrywanie coraz większej liczby liczb pierwszych, które zapisujemy w postaci 2^p-1, gdzie p jest liczbą pierwszą,  zaowocował odkryciem jednej z największych znanych do tej pory liczb pierwszych. Liczba ta posiada 23 249 425 cyfr, jest tak duża, że z łatwością zapełniłaby 9000 stron książki. Dla porównania, szacuje się, że liczba atomów w całym obserwowalnym wszechświecie nie przekracza 100 cyfr.Liczba, zapisana po prostu jako 2^77232917-1  została znaleziona przez wolontariusza, który poświęcił temu przedsięwzięciu 14 lat czasu obliczeniowego.Być może zastanawiasz się, dlaczego liczba ta przekracza 23 miliony cyfr, dlaczego musimy o tym wiedzieć? Z pewnością najważniejsze liczby to te, których możemy użyć do ilościowego określenia naszego świata? Nie do końca o to chodzi o to. Musimy znać właściwości różnych liczb, abyśmy mogli nie tylko rozwijać technologię, na której polegamy, ale także zapewnić jej bezpieczeństwo. <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://api.buki.org.pl/blog_image/0a/YO/0aYO1yIVLtRU2NYXMz3Q9OOsTZuxLPeTArraVqBq.jpg" alt="" width="640" height="360"> Tajemnica liczb pierwszychJednym z najczęściej używanych zastosowań liczb pierwszych w informatyce jest system szyfrowania RSA. W 1978 Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman połączyli kilka prostych, znanych faktów na temat liczb, aby stworzyć RSA. Opracowany przez nich system pozwala na bezpieczne przesyłanie informacji takich jak numery kart kredytowych.Pierwszym składnikiem wymaganym w algorytmie są dwie duże liczby pierwsze. Im większe liczby, tym bezpieczniejsze szyfrowanie. Liczenie liczb jeden, dwa, trzy, cztery i tak dalej – zwane też liczbami naturalnymi – jest tu oczywiście niezwykle przydatne. Ale liczby pierwsze są budulcem wszystkich liczb naturalnych (patrz rozkład na czynniki pierwsze), a więc są jeszcze ważniejsze.Weźmy na przykład liczbę 70. Podział pokazuje, że jest iloczynem 2*35. Ponadto 35 jest iloczynem 5*7. Zatem 70 jest iloczynem trzech mniejszych liczb: 2*5*7. To koniec drogi dla 70, bo żadnego z nich nie da się dalej rozbić. Znaleźliśmy czynniki pierwsze, które składają się na 70.Mnożenie dwóch liczb, nawet bardzo dużych, jest być może żmudnym, ale prostym zadaniem. Z drugiej strony znalezienie rozkładu na czynniki pierwsze jest niezwykle trudne i właśnie to wykorzystuje system RSA.Załóżmy, że Alicja i Marek chcą potajemnie komunikować się przez Internet. Wymagają systemu szyfrowania. Jeśli po raz pierwszy spotkają się osobiście, mogą wymyślić metodę szyfrowania i odszyfrowywania, którą tylko oni będą znali, ale jeśli początkowa komunikacja odbywa się online, muszą najpierw otwarcie przekazać informacje o samym systemie szyfrowania – ryzykowne przedsięwzięcie.Jeśli jednak Alicja wybierze dwie duże liczby pierwsze, obliczy ich iloczyn i przekaże to otwarcie, ustalenie, jakie były jej pierwotne liczby pierwsze, będzie bardzo trudnym zadaniem, ponieważ tylko ona zna czynniki.Więc Alicja przekazuje swój iloczyn Markowi, zachowując w tajemnicy swoje czynniki. Marek używa iloczynu do zaszyfrowania swojej wiadomości do Alicji, którą można odszyfrować tylko przy użyciu znanych jej czynników. Jeśli Ewa podsłuchuje, nie może odszyfrować wiadomości Marka, chyba że zdobędzie czynniki Alicji, które nigdy nie zostały przekazane. Jeśli Ewa spróbuje rozbić produkt na czynniki pierwsze – nawet przy użyciu najszybszego superkomputera – nie istnieje żaden znany algorytm, który mógłby to zrobić w czasie mniejszym niż milion lat.Pierwotna misjaDuże liczby pierwsze są również używane w innych systemach kryptografii. Im szybsze komputery, tym większe liczby mogą złamać. W nowoczesnych zastosowaniach wystarczą liczby pierwsze mierzące setki cyfr. Te liczby są znikome w porównaniu z niedawno odkrytym gigantem. W rzeczywistości nowa liczba pierwsza jest tak duża, że ​​– w chwili obecnej – żaden wyobrażalny postęp technologiczny w zakresie prędkości obliczeniowej nie może prowadzić do konieczności wykorzystania jej dla bezpieczeństwa kryptograficznego. Jest nawet prawdopodobne, że ryzyko stwarzane przez zbliżające się komputery kwantowe nie wymagałoby używania aż tak gigantycznych liczb do szyfrowania.Słynny brytyjski matematyk Godfrey Harold Hardy powiedział: „Czysta matematyka jest ogólnie bardziej użyteczna niż stosowana. Przydatna jest bowiem przede wszystkim technika, a techniki matematycznej uczy się głównie przez czystą matematykę”. To, czy ogromne liczby pierwsze, takie jak  liczba z początku artykułu z milionami cyfr, kiedykolwiek okażą się przydatne, jest, przynajmniej dla Hardy'ego, kwestią nieistotną.Zasługa znajomości tych liczb polega na zaspokojeniu intelektualnego pragnienia rasy ludzkiej, które zaczęło się od dowodu Euklidesa na nieskończoność liczb pierwszych i trwa do dziś. Dygresyjnie warto również wspomnieć tutaj o spirali Ulama oraz hipotezie Riemanna. Za pomocą tej drugiej da się określić funkcję, która określa liczbę liczb pierwszych aż do liczby naturalnej n. Na osobę, która wspomnianą hipotezę udowodni czeka nagroda miliona dolarów ufundowana przez Instytut Matematyczny Claya. Uwaga! Problem jest jednym z największych problemów współczesnej matematyki, więc nie jest to łatwy sposób na zarobek. Ta pierwsza natomiast to pewien geometryczny wzór, który ukazuje się, gdy liczby pierwsze zaczniemy wypisywać spiralnie. W wielkiej skali da się zauważyć, że liczby pierwsze układają się w sposób, któy sugeruje, że ich rozmieszczenie nie jest losowe. Google podrzuci mnóstwo grafik :)

Pewniaki maturalne na rozszerzeniu - optymalizacja

Zadania optymalizacyjne to zadania trudne, jednak rachunek różniczkowy niesie ze sobą mnóstwo praktycznych zastosowań jak optymalizowanie wydajności/kosztu procesu przy zadanych parametrach (szukanie ekstremum, najczęściej funkcji wielu zmiennych), modelowanie zachowania populacji zwierząt czy rozprzestrzeniania się wirusów, obliczenia związane z wytrzymałością materiałów i przewodzeniem cieplnym.  Mimo dużego poziomu trudności, jak wszystko, da się te zadania zalgorytmizować. <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://api.buki.org.pl/blog_image/ZT/Bb/ZTBb5eoQfC3cuuyEqvRzni1rwK7E2SrnT7KRykl6.jpg" alt="" width="640" height="426"> Posłużę się zadaniem z maja 2020. „Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda. Ekran ma mieć powierzchnię 60 cm^2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których sama powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.”- W kroku pierwszym zawsze trzeba zidentyfikować, jaką wielkość mamy do zoptymalizowania. Najczęściej jest to długość, pole lub objętość. W powyższym zadaniu jest to pole (projektujemy ekran smartfona). Wypisujemy wzór na pole prostokąta (samego ekranu) P=ab.-  W kroku drugim musimy przekształcić wzór z punktu 1 na taki, aby zawierał tylko jedną zmienną. Wzór z punktu 1 zawiera zawsze 2 zmienne, tutaj a i b. Naszym celem jest policzenie pochodnej, bo to jest nasze narzędzi do optymalizacji. Ponieważ w liceum używamy tylko pochodnej funkcji jednej zmiennej, dlatego musimy jednej ze zmiennych się pozbyć. W celu wyrugowania jednego z dwóch argumentów funkcji trzeba skorzystać z treści zadania i warunku tam postawionego. U nas warunkiem/założeniem jest, że ekran ma mieć pole 60 cm^2. Rozpisujemy więc 60=ab z czego wynika b=60/a. Pole całego smartfona jest większe o szerokość ramki (0,3 z lewej, 0,3 z prawej oraz 0,5 z góry i 0,5 z dołu), co uwzględniamy we wzorze poniżej. P=(0,3+0,3+a)(0,5+0,5+b)=(0,6+a)(1+b). Podstawiamy wyliczone wcześniej b=60/a a potem mamy już tylko liczenie, główkowanie kończy się z grubsza w tym miejscu. P=(0,6+a)(1+60/a)=a+36/a+60,6Kiedy mamy wyznaczony wzór optymalizowanej wielkości w zależności od jednej zmiennej, możemy teraz szukać esktremum naszej funkcji (minimum lub maksimum, w zależności od treści). W tym celu po prostu liczymy pochodną funkcji oraz przyrównujemy ją do zera, tj. rozwiązujemy równanie f’(x)=0. Kiedy znajdziemy punkty podejrzane o istnienie ekstremum, należy pamiętać aby sprawdzić, czy pochodna zmienia znak w otoczeniu tego punktu. W przypadku braku sprawdzenia tego warunku odejmowany jest jeden punkt. Na innym przykładzie pokażmy, dlaczego jest to ważne. Niech f(x)=x^3. Wtedy f’(x)=3x^2. Funkcja f jest funkcją zawsze rosnącą, zatem nie posiadającą ekstremum, pomimo, że f’(0)=0. Wracając do naszego zadania. Obliczamy pochodną f’(x)=1-36/a^2 Szukamy wartości ekstremalnej naszej funkcji, a więc rozwiązujemy równanie f’(x)=0 f’(x)=1-36/a^2=0. Stąd mamy 36/a^2=1, a^2=6, a=6 lub a=-6. Ponieważ a oraz b są długościami prostokąta a nie może przyjmować ujemnej wartości. Otrzymaliśmy zatem a=6Po znalezieniu ekstremum jest to w zasadzie koniec zadania. Wystarczy tylko podstawić znaleziony punkt do wzoru na szukaną wielkość (tutaj wymiary smartfona) i gotowe. Mamy więc jeden wymiar a=6 oraz zależność b=60/a. Podstawiamy zatem i otrzymujemy b=60/6=10. Szukane wymiary smartfona mają zatem wartości 6cm oraz 10cm. Schemat w skrócie 1 Identyfikujemy szukaną wielkość i wypisujemy na nią wzór. Wzór zawsze jest zależny od dwóch zmiennych (tu: pole P=ab). 2 z warunku z zadania wyznaczamy jedną z niewiadomych ze wzoru za pomocą drugiej (tu warunek 60=ab -&gt; b=60/a). Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia z punktu 1 3 Wstawiamy wyznaczoną niewiadomą do wzoru 1 i otrzymujemy wzór zależny od 1 zmiennej. 4 Liczymy pochodną wzoru z punktu 3 i przyrównujemy do zera. 5 Sprawdzamy czy rozwiązania z punktu 4 są rzeczywiście ekstremami. Gdzie łatwo zgubić punkty? 2 z 7 najłatwiej stracić na nieuwzględnieniu dziedziny funkcji oraz nie sprawdzeniu czy pochodna zmienia znak wokół punktu podejrzanego o istnienie ekstremum.

Całkowanie przez części – przydatne chwyty

Całkowanie funkcji złożonych lub iloczynów funkcji nie jest proste. Wykorzystujemy do tego tzw. całkowanie przez części. <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://api.buki.org.pl/blog_image/ZE/bm/ZEbm9mhSff59E6ISTyM35UvAG5UFLyNjp4tREFVL.jpg" alt="" width="640" height="421">  Skąd bierze się wzór na całkowanie przez części? Już pokazuję. Weźmy iloczyn dwóch funkcji f i g. Pochodna tego iloczynu wygląda następująco (fg)’ =  f’g + fg’. Przekształcamy nasze wyrażenie do postaci fg’ = (fg)’ - f’g Następnie całkujemy stronami i otrzymujemy wyrażenie  ∫fg’ dx= ∫(fg)’ dx - ∫f’g dx,  ∫fg’ dx= fg - ∫f’g dx. Voila, mamy wzór. Oczywiście rolę f i g można zamienić, to tylko symbole. Jak widać, wzór na całkowanie przez części uzyskaliśmy ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. To ważne, bo całkowanie przez części częściej pojawia się przy całkach, gdzie funkcją podcałkową jest iloczyn dwóch funkcji (niebędących wzajemnie swoimi pochodnymi). Jak widać w ostatnim wzorze, do obliczenia całki z lewej strony, potrzebujemy najpierw scałkować funkcję g oraz policzyć pochodną funkcji f. Studenci często mają problem z dobieraniem co całkujemy (g’) a co różniczkujemy (f). Już pokazuję kilka utartych schematów.  Jeżeli pod całką występuje iloczyn wielomianu dowolnego stopnia ( P(x) ) oraz dowolnej funkcji wykładniczej, sinusa lub cosinusa (zbiorczo nazwę te 3 funkcje akronimem esc(x)) to nasza całka wygląda jak poniżej  ∫P(x)*esc(x) dx. Jako funkcję f bierzemy zawsze wielomian, jako g’ zawsze bierzemy funkcję wykładniczą, sinus lub cosinus. Można spytać dlaczego? Można. Otóż przy liczeniu pochodnej funkcji f (tj. wielomianu) stopień wielomianu się zmniejsza, a całkując wyrażenie esc(x) zostaje ono dalej tego samego typu (tzn. dalej jest funkcją wykładniczą, sinusem lub cosinusem).  Stosując całkowanie przez części odpowiednią ilość razy wielomian P(x) w końcu stanie się wielomianem stopnia 0 (tj. zwykłą liczbą) i dostaniemy całkę  ∫c*esc(x) dx, c=const, która jest całką elementarną. Gdybyśmy założyli odwrotnie, nasz wielomian zwiększałby swój stopień (w wyniku całkowania), co prowadziłoby do całki trudniejszej, zamiast łatwiejszej. Jeżeli pod całką występuje dowolna funkcja cyklometryczna (arcus) lub logarytm (zbiorczo nazywam tę funkcję przez al(x) ) oraz wielomian ( P(x) ) mamy całkę  ∫al(x)*P(x) dx. W takiej sytuacji zakładamy odwrotnie – wielomian ląduje jako funkcja g’ do całkowania, natomiast al(x) leci do różniczkowania jako f. Dostaniemy wtedy do scałkowania funkcję wymierną lub funkcję sprowadzalną do funkcji wymiernej (np. podstawieniem Eulera), którą następnie całkujemy za pomocą rozkładu na ułamki proste, co jest… względnie proste. Pamiętając o tych dwóch regułach zdecydowaną większość całek rozwiązujemy bez większego trudu ;) Jeden przykład na poparcie wywodu.  ∫(x/2+3)*ln(x) dx= {f=lnx, g’=x/2+3, f’=1/x, g=x^2+3x}= = (x^2+3x)lnx- ∫1/x*(x^2+3x)dx=(x^2+3x)lnx- ∫x+3dx=(x^2+3x)lnx - (1/2*x^2+3x) + C

Czy nauka w wakacje ma sens?

Wakacje chylą się ku końcowi. Uczniowie, nauczyciele i korepetytorzy wracają za chwilę do pełnowymiarowej pracy i nauki. Jednak czy dawanie sobie całkowitego luzu, jako uczeń lub student, w wakacje jest dobrym pomysłem? Spróbujemy odpowiedzieć w tym wpisie.<p style="text-indent: .5in; background: white; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; text-align: start; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; word-spacing: 0px;">W te wakacje miałem okazję pracować z kilkoma osobami. W większości, lecz nie tylko, byli to "konkursowicze", a więc osoby uczące się dobrze i aspirujące dalej niż "tylko" piątka z matematyki. Sami proponowali pod koniec roku szkolnego, żeby uczyć się też w wakacje, żeby "nie wypaść z rytmu". Zdecydowanie dobra decyzja. Większość dorosłych wie, jak zwykły 2-tygodniowy urlop potrafi rozleniwić. A co dopiero 2 czy 3 miesiące! Powrót do pracy bywa nieraz okropny - wbicie się w rytm pracy, nadrabianie zaległych tematów itp. Ze szkołą jest dokładnie tak samo. Mózg pozbawiony zajęcia i stymulacji rozleniwia się. Po pierwsze, nauka w wakacje pozwala zachować nam pewien rytm i rutynę, który utrzymujemy przez większość roku szkolnego w trakcie nauki – przejście wakacje z wakacji do roku szkolnego jest wtedy dużo płynniejsze i prostsze. Po drugie zdobywamy jakże cenną i potrzebną nam w dorosłym życiu wiedzę. Poszerzanie wiedzy z ulubionego przedmiotu ponad program, lub nadrabianie zaległości z naszego najmniej ulubionego przedmiotu pozwala na podciągnięcie ocen i samorozwój. Zwłaszcza dodatkowa nauka ulubionego przedmiotu jest wskazana – poszerzanie horyzontów w dziedzinie, w której czujemy się najlepiej, to inwestycja w przyszłość – może to być egzamin 8-klasisty, który będzie za rok, może matura za 2 lata, która już teraz powoli pochyla się nad Tobą. A może to inwestowanie w obroniony na 5 dyplom ukończenia studiów i bilet do uzyskania lepszej pracy? <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://api.buki.org.pl/blog_image/I8/Uy/I8UydmgpTMR8ymIjH8j97f0fOPp2qPXtxm1eBgxL.jpg" alt="" width="640" height="421"> <p style="text-indent: .5in; background: white; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; text-align: start; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; word-spacing: 0px;">Jednak nie tylko nauka ulubionego przedmiotu w trakcie wakacji jest dobra. W przypadku moich uczniów, a uczę matematyki, nadrabianie zaległości też jest bardzo istotne. W tym roku miałem okazję uczyć osobę o zaległościach sięgających 2 klasy wstecz – w trakcie roku szkolnego często niemalże uniemożliwiało to dalszą naukę. Ciężko wyobrazić sobie rozwiązywanie układów równań z dwoma niewiadomymi, jeżeli nie umiemy rozwiązać równania z jedną niewiadomą, prawda? Intensywna nauka w wakacje pozwoliła nam jednak na nadrobienie zaległości. Uczeń sam czuje się teraz dużo pewniej, a nadchodzący rok szkolny i nieuchronny powrót do (zbytnio nie lubianej) nauki matematyki, wcale nie są takie straszne, kiedy zaległości nie są takie ogromne. <p style="text-indent: 0.5in; background-image: initial; background-position: initial; background-size: initial; background-repeat: initial; background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial;">Podsumowując - nauka w wakacje, choć dla wielu straszna to wizja, jest bardzo dobrym pomysłem. Pozwala nie wypaść z rytmu pracy, uczy sumienności i poszerza naszą wiedzę. Oczywiście nie chodzi, o to, żeby katować się kilkugodzinną nauką codziennie. Czas wolny, aby mózg mógł odpocząć i "zwolnić obroty", też jest bardzo ważny. Ale nie zapominajmy - uczymy się i pracujemy przez prawie całe życie. Kilka godzin w tygodniu przez wakacje nikogo nie zbawi, a jest to szansa na dużo prostszy start w przyszłym roku szkolnym.

Najpopularniejsze języki obce wśród Polaków – ile kosztuje nauka w 2025 roku?

Koszt sukcesu na maturze 2025 – ile trzeba zainwestować w przygotowania?

Ile zarabia fizjoterapeuta i jak nim zostać?

Wyniki losowania Black Friday: gratulujemy zwyciężczyni!

160 zł/60 min

9 lat, doświadczenia, poprawki, olimpiady, studia. Uczę w formie indywidualnej i grupowej. Pracuję z uczniami o specjalnych potrzebach - spektrum autyzmu, dysleksja, dyskalkulia, ADD, ADHD.
Prowadzę kanał matematyczny youtube i tiktok.

O [:site]

Popularne miasta

Korepetycje Matematyka Warszawa

Korepetycje Jezyk Polski Warszawa

Korepetycje Jezyk Francuski Warszawa

Korepetycje Jezyk Francuski Krakow

Korepetycje Matematyka Krakow

Korepetycje Biologia Krakow

Korepetycje Jezyk Angielski Poznan

Korepetycje Matematyka Poznan

Korepetycje Jezyk Polski Poznan

Popularne przedmioty w miastach

Korepetycje Matematyka Online

Korepetycje Jezyk Angielski Online

Korepetycje Jezyk Hiszpaski Online

Korepetycje Jezyk Wloski Online

Korepetycje Jezyk Polski Online

Korepetycje Fizyka Online

Korepetycje Matematyka

Korepetycje Chemia Online

Korepetycje Jezyk Niemiecki Online

Korepetycje Jezyk Angielski

Korepetycje Jezyk Polski

Korepetycje Informatyka Online

Korepetycje Jezyk Francuski Online

Popularne lekcje

Ranking: 

Dołącz

Przydatne linki

Wspieramy Ukrainę! Stop wojnie!

Używamy plików cookie do identyfikacji użytkowników, zapamiętywania preferencji i ustawień użytkowników, analizowania ruchu i trendów na stronie oraz ogólnego zrozumienia zachowań i zainteresowań użytkowników wchodzących w interakcję z naszą Stroną. Jeśli klikniesz „Zezwalaj na wszystkie pliki cookie”, wyrażasz zgodę na używanie przez nas wszystkich plików cookie na stronie. Jeśli klikniesz „Nie zezwalaj”, użyte zostaną tylko podstawowe pliki cookie. Więcej informacji znajdziesz w naszej <a [:privacy_link]>Polityce Prywatności</a> oraz <a href='/p/cookies/'>Polityce plików cookie.</a>

Ta strona korzysta z plików cookie!

Logowanie

Więcej

Jeśli chcesz zmienić nauczyciela, napisz do konsultanta

Zarezerwowałeś już lekcję próbną z nauczycielem [:TUTOR_NAME]

Zarezerwuj bezpłatną lekcję próbną z nauczycielem z BUKI School

Wybierz dogodny dla siebie termin, w przeciwnym razie zajęcia w tym terminie może zająć inny uczeń.

Nie zarezerwowałeś próbnej lekcji z korepetytorem 😔

Dzielnica / osiedle

Twoje dane kontaktowe nigdy nie będą wyświetlane na stronie i będą udostępniane tylko korepetytorowi i specjaliście ds. Obsługi Klienta [:SITE]

Złożenie zamówienia

Wysyłając zapytanie, zgadzasz się na nasze

. Wyrażam zgodę na przetwarzanie moich danych osobowych zgodnie z 

oraz potwierdzam, że ukończyłem 16 rok życia lub jestem rodzicem/opiekunem prawnym

Nasi konsultanci już pracują nad Twoim zgłoszeniem i skontaktują się z Tobą tak szybko, jak to możliwe.

Dziękujemy za zgłoszenie!

Zaznacz dodatkowo dwóch nauczycieli, abyśmy wiedzieli, kto jeszcze Ci odpowiada.

Wszystkie artykuły korepetytorów: Jakub M.

Artykuły o edukacji

Blog korepetytora – Jakub M.