Funkcje liniowe są jednymi z najprostszych i najważniejszych funkcji w matematyce. Mają one szerokie zastosowanie we wszelkiego rodzaju analizach i modelowaniu danych. Wykorzystywane są w wielu dziedzinach - nie tylko w matematyce, ale także w ekonomii, finansach czy statystyce, fizyce i transporcie. Uczą się ich wszyscy w szkole - co więcej, jest to jedna z pierwszych funkcji, którą poznaje się na lekcjach matematyki - jest zarazem pierwszą i najłatwiejszą funkcją. Wszystkie osoby, które chcą, a nawet muszą zrozumieć tę dziedzinę matematyki muszą pamiętać, że funkcje liniowe opisują zależność między dwiema zmiennymi, gdzie jedna zmienna jest proporcjonalna do drugiej. W tym artykule opowiemy i wyjaśnimy - czym jest funkcja liniowa, jakie są jej własności, jak narysować jej wykres oraz gdzie możecie się z nią spotkać - zarówno w nauce, jak i w życiu codziennym.
Funkcja liniowa - czym jest i jak stworzyć wykres?
Tak jak wspomnieliśmy we wstępie funkcja liniowa to funkcja, która opisuje zależności między dwoma zmiennymi. Można spotkać się również z nazewnictwem “funkcja pierwszego stopnia”. Na wykresie jest przedstawiana jako prosta przecinająca dwa punkty.
Zapisujemy ją za pomocą takiego wzoru:
f(x) = ax + b,
a - liczba rzeczywista
b - liczba rzeczywista
x - zmienna niezależna
Należy pamiętać, że:
- wartość "a" określa nachylenie prostej
- wartość "b" to przesunięcie wzdłuż osi y
Do stworzenia wykresu funkcji liniowej, potrzebujemy co najmniej dwóch punktów. Możemy wybrać dowolne dwie różne wartości x (lub przyjąć z zadania), obliczamy odpowiadające im wartości funkcji liniowej, a następnie oznaczamy te punkty na płaszczyźnie kartezjańskiej, czyli wykresie, który składa się z osi x oraz y. Połączenie tych punktów linią daje nam wykres funkcji liniowej. Wiemy, że matematyka jest przedmiotem, który często sprawia trudności, dlatego w razie potrzeby zachęcamy do skorzystania z pomocy naszych korepetytorów BUKI.
Jakie są własności funkcji liniowej?
Funkcje liniowe mają kilka ważnych własności, które warto poznać:
- Nachylenie prostej - wartość "a" w funkcji liniowej określa nachylenie prostej. Nachylenie mierzy, jak bardzo prosta jest stroma lub nachylona wzdłuż osi x. Jeśli "a" jest dodatnie, prosta rośnie w kierunku prawo-góra. Oznacza to, że im większa wartość "x", tym większa wartość funkcji liniowej. Jeśli "a" jest ujemne, prosta maleje w kierunku prawo-dół. Wtedy im większa wartość "x", tym mniejsza wartość funkcji liniowej. Im większa wartość bezwzględna "a", tym bardziej stroma jest prosta.
- Przesunięcie - wartość "b" w funkcji liniowej to przesunięcie prostej wzdłuż osi y. Przesunięcie mierzy, jak daleko prosta jest przesunięta w górę lub w dół w stosunku do osi x. Jeśli "b" jest dodatnie, prosta jest przesunięta w górę względem osi y. Jeśli "b" jest ujemne, prosta jest przesunięta w dół względem osi y.
- Punkty przecięcia - funkcja liniowa przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, b). Oznacza to, że gdy "x" wynosi zero, wartość funkcji liniowej wynosi "b". Jeśli "a" nie jest równa zero, prosta przecina oś x w jednym punkcie. Możemy obliczyć ten punkt, rozwiązując równanie f(x) = 0.
- Proporcjonalność - właściwością funkcji liniowej jest również to, że zmienne x i f(x) są proporcjonalne. Oznacza to, że dla każdej zmiany wartości x, wartość funkcji f(x) zmienia się proporcjonalnie według równania f(x) = ax + b. Proporcjonalność ta wynika z liniowego charakteru funkcji.
Zastosowania funkcji liniowej w nauce
Funkcje liniowe mają szerokie zastosowanie zarówno w nauce:
- Ekonomia - funkcje liniowe są często używane w ekonomii do modelowania zależności między ilością sprzedanych produktów a ceną. Dobrym przykładem jest tutaj cena danego produktu jako zmiennej niezależnej, a ilość sprzedanych produktów to zmienna zależna, funkcja liniowa może opisywać, jak zmienia się popyt wraz ze zmianą ceny.
- Fizyka - w fizyce funkcje liniowe są stosowane do modelowania ruchu jednostajnego prostoliniowego. W takim przypadku zmienna niezależna to czas, a zmienna zależna to położenie obiektu. Funkcje liniowe są również wykorzystywane do opisywania innych rodzajów ruchu, np. ruch jednostajnie przyspieszony.
- Statystyka - w analizie statystycznej funkcje liniowe są używane do dopasowywania regresji liniowej. Pozwalają one na modelowanie zależności między zmiennymi i przewidywanie wartości na podstawie danych. Regresja liniowa jest szeroko stosowana w badaniach społecznych, naukowych i ekonomicznych.
- Inżynieria - funkcje liniowe są wykorzystywane w inżynierii do modelowania różnych procesów, takich jak opór elektryczny czy tarcie kinetyczne. Mogą być również używane do opisu charakterystyki mechanicznych materiałów, takich jak sprężystość czy wytrzymałość.
- Finanse - funkcje liniowe są używane w finansach do analizy trendów rynkowych, prognozowania wzrostu inwestycji czy szacowania zwrotu z inwestycji. Wykorzystuje się je do tworzenia modeli finansowych i podejmowania decyzji inwestycyjnych.
Funkcja liniowa w życiu codziennym
- Finanse osobiste - funkcje liniowe są używane w finansach osobistych do budżetowania i planowania wydatków. Możemy stworzyć funkcję liniową, która opisuje nasze przychody i wydatki w zależności od czasu. Dzięki temu możemy analizować nasze finanse, przewidywać przyszłe saldo konta i planować oszczędności.
- Transport - w przypadku niektórych środków transportu, takich jak taksówki, można zastosować funkcję liniową do obliczenia kosztów podróży w zależności od przebytej odległości. Opłata za przejazd może być ustalana na podstawie stałej opłaty początkowej oraz opłaty za każdy przejechany kilometr. Zapewne nikt nie stosuje tego na co dzień, jednak dobrze mieć świadomość, że działanie to, również jest oparte na funkcji liniowej.
- Kredyty hipoteczne - przy analizie kredytów hipotecznych, funkcje liniowe są używane do obliczenia wysokości miesięcznej raty kredytowej. Zależy ona od wielkości pożyczki, okresu spłaty oraz oprocentowania.
- Szybkość i czas - funkcje liniowe występują w zależności między szybkością, a czasem podróży. Idealnym przykładem jest jazda samochodem czy pociągiem z równą prędkością, możemy użyć funkcji liniowej do obliczenia czasu potrzebnego na pokonanie danej odległości.
- Konwersje walutowe - funkcje liniowe są stosowane w konwersji walut. Przy wykorzystaniu stałego kursu wymiany, można obliczyć wartość jednej waluty w zależności od wartości drugiej waluty.
- Płace i wynagrodzenia - w niektórych zawodach, funkcje liniowe są wykorzystywane do obliczania wynagrodzeń. Dotyczy to np. wynagrodzenia, które może być proporcjonalne do liczby przepracowanych godzin lub wytworzonych jednostek produktu, tzw. praca na akord.
Jak graficznie przedstawić funkcję liniową?
Funkcja liniowa jest najprostszą funkcją. Przedstawiamy ją graficznie za pomocą - jak sama nazwa wskazuje - prostej. Mówiąc językiem matematycznym jest to wykres funkcji liniowej jest prostą, która jest reprezentowana przez dwa punkty na płaszczyźnie.
Do narysowania wykresu , wybieramy (lub przyjmujemy z zadania) dwie różne wartości x i obliczamy odpowiadające im wartości funkcji liniowej, korzystając z równania f(x) = ax + b. Następnie zaznaczamy te punkty na wykresie, łącząc je linią.
Ważne jest, aby wybrać odpowiedni zakres osi x i y. Złe dobranie zakresu rozstawiania liczb na osi sprawi, że wykres będzie nieczytelny. Można również dodać etykiety osi x i y oraz tytuł wykresu, aby ułatwić interpretację.
Funkcje liniowe są prostymi liniowymi opisanymi równaniem f(x) = ax + b. Mają wiele ważnych własności, o których należy pamiętać (zwłaszcza na lekcjach matematyki):
- nachylenie prostej
- przesunięcie
- punkty przecięcia
- proporcjonalność.
Tak jak wspomnieliśmy funkcje liniowe mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego - spotykamy się z nimi niemal na co dzień, niekoniecznie za pomocą tworzenia wykresów. Zazwyczaj wystarcza nam wykonanie prostych zadań matematycznych w głowie (nie zastanawiamy się wtedy, że mamy do czynienia z funkcją liniową).
Tworzenie wykresu funkcji liniowej polega na znalezieniu co najmniej dwóch punktów na prostej i połączeniu ich linią. Wykresy funkcji liniowych pomagają wizualizować zależności i analizować dane, co jest istotne w rozumieniu i interpretacji różnych zjawisk i procesów.
