Matematyka to zmora wielu z nas. Posiada wiele zagadnień i tematów. Z niektórymi radzimy sobie lepiej, z innymi gorzej. Jedno jest pewne - jest to bardzo ważna dziedzina nauki, która dotyczy każdego z nas. Jednym z ważnych zagadnień są ciągi liczbowe. Nie każdy zdaje sobie z tego sprawę, ale ciągi liczbowe otaczają nas z każdej strony! Dobrze jest je znać, ponieważ przydają się w różnych sytuacjach! Dzisiaj opowiemy Wam, co to jest ciąg liczbowy, granica ciągu liczbowego oraz przedstawimy wzory i zadania.
Czym jest ciąg liczbowy?
Dla wielu osób matematyka i jej pochodne wydają się tematem bardzo abstrakcyjnym. Jest to jednak przedmiot, który nam towarzyszy przez całą obowiązkową edukację. W pewnym momencie w szkole poznajemy ciągi liczbowe. Jest to jedno z wielu pojęć matematycznych. Z ciągami dzieci, a w zasadzie młodzież ma styczność w szkole średniej. Jest to pewnego rodzaju zbiór. Najprościej mówiąc, ciąg liczbowy to każda funkcja, która składa się z liczb naturalnych. Liczby mogą być dodatnie i ujemne. W przypadku ciągu liczb stworzonego tylko z liczb dodatnich mamy do czynienia z ciągiem nieskończonym. Ciągi liczbowe mogą się składać z liczb, liter i znaków. Najpopularniejsze ciągi, jakie poznajemy podczas nauki to ciąg arytmetyczny i geometryczny. Oprócz nich mogłeś się spotkać jeszcze z ciągiem monotonicznym czy granicami ciągu. Pewnie zastanawiasz się, gdzie w rzeczywistości i normalny życiu możesz się spotkać z ciągami matematycznymi. Już Ci podpowiadamy! Ciągi skończone to m.in. numery telefonów, konta bankowe czy nawet słowa i zdania. Ciągi liczbowe znajdują również szerokie zastosowanie w kryptografii.
- Przykłady ciągów liczbowych:
- 1, 2, 4, 10, 13
- 2, 1, 4, 7, 10
- -3, -1, 5, 8, 12, 15, (...)
Wszystkie ciągi możemy przedstawiać za pomocą wzorów!
Otaczają nas również nieskończone ciągi liczbowe. Jest ich zdecydowanie mniej niż tych skończonych, ale są. Najlepszym przykładem będą przybliżenia liczb dziesiętnych rzeczywistych. Rozwinięcia tych liczb często się nie kończą, oznacza to, że są nieskończone - tak samo jak tego rodzaju ciągi. Najprostszym przykładem jest liczba Pi. W tym miejscu warto również wspomnieć, co takiego mogą opisywać ciągi liczbowe i do czego nam służą. Jest to równanie, które pokaże nam stały wzrost lub spadek danej wartości, np. czas rozkładu węgla czy wyliczanie lokaty o stałym oprocentowaniu. Jedne z popularniejszych, czyli ciągi geometryczne pozwalają na obliczenie wysokości kapitalizacji odsetek i sumy lokaty po x latach. Jak widzicie, nawet ciągi liczbowe mają szerokie zastosowanie w życiu dla każdego z nas. Posiadając takie umiejętności, jesteśmy w stanie samodzielnie policzyć, która lokata jest dla nas korzystniejsza. Nie powinniśmy zaniedbywać tej wiedzy matematycznej, a wręcz przeciwnie. Powinniśmy inwestować w to czas. Jednym ze sposób na poprawienie swoich zdolności matematycznych są zajęcia dodatkowe. Ciekawą ofertę przedstawia portal BUKI, który posiada bazę doświadczonych korepetytorów nie tylko z matematyki.
Granica ciągu liczbowego - definicja
Rozmawiając o ciągach liczbowych, nie możemy zapomnieć o granicy ciągu. Jest to wartość w konkretnym miejscu (tzw. otoczeniu), gdzie są umieszczone wszystkie wyrazy ciągu. Jest to wartość wyrazów ciągu liczbowego. Musi istnieć taka liczba X, która w ciągu an spełnia nierówność n>X. Krótko mówiąc, do granicy ciągu liczbowego dążą kolejne wyrazy z ciągu. Poniżej przedstawiamy definicję zawartą na popularnej stronie do nauki matematyki - matemaks.pl:
Granice ciągu liczbowego to już bardziej skomplikowany dział. Nie jest on jednak obowiązkowy dla wszystkich. O granicach ciągu uczą się tylko osoby, które w szkole średniej zdecydowały się na rozszerzenie z matematyki lub studiują kierunki związane z tym przedmiotem np. informatykę.
Ciągi liczbowe - zadania, testy, wzory
Poniżej przedstawiamy najważniejsze wzory dotyczące ciągów liczbowych:
- Ciągi arytmetyczne:
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:
Zależność w ciągu arytmetycznym:
- Ciągi geometryczne:
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
Wzór na sumę ciągu geometrycznego:
Zależność w ciągu geometrycznym:
Jeżeli chcesz dobrze poznać zagadnienia dotyczące ciągów liczbowych, musisz wykonywać bardzo dużo zadań. Tylko poprzez zajęcia praktyczne jesteś w stanie perfekcyjnie się tego nauczyć. Zachęcamy do rozwiązywania zadań umieszczonych na popularnych portalach matematycznych np.:
Nie ma jednak, gdy ktoś poświęci nam swój czas i pokaże od początku do końca, jak rozwiązać zadanie. Dobrym sposobem do nauki jest posiłkowanie się filmikami na youtube oraz korzystanie z zajęć dodatkowych, które organizują nauczyciele przedmiotowi po lekcjach obowiązkowych. Z pewnością Twój nauczyciel od matematyki również prowadzi takie zajęcia. Zazwyczaj na takie zajęcia nie ma za dużo chętnych uczniów, więc jest prawdopodobieństwo, że będziecie sam na sam. Jest to świetna opcja, która pozwala na poduczenie się z danego tematu. Jeżeli jednak to będzie niewystarczające, zachęcamy do skorzystania z usług oferowanych przez portal BUKI.
