Wacław Sierpiński, to osoba, która bardzo często pojawia się w kontekście prób wytłumaczenia teorii liczb studentom w Polsce. Ten wybitny przedstawiciel warszawskiej szkoły matematycznej i profesor Uniwersytetu Warszawskiego napisał w 1965 roku cenną książkę pt. „Wstęp do teorii liczb”. Każdy, kto chce poznać podstawy tej dziedziny, powinien sięgnąć po tych lekko ponad 100 stron. Dziś i my w skrócie sprawdzamy, co to jest teoria liczb i gdzie można szukać informacji na ten temat.
Teoria liczb: co to jest? Wytłumaczenie
Gdyby spróbować zbudować bardzo luźną definicję obszaru, jakim zajmuje się teoria liczb, to byłoby to badanie liczb naturalnych i całkowitych. Sprawdzane są zależności pomiędzy nimi i ich właściwości — na podstawie tak zebranej wiedzy zbudowanych zostało mnóstwo teorii.
W wielu kręgach zwykło się mawiać, że teoria liczb jest królową matematyki (a jak wiadomo, matematyka sama w sobie jest również uznawana za królową nauk). Naukowcy nierzadko zagadnienia związane z teorią liczb wykorzystują jako bazę do dalszych badań.
Niektórym zagadnieniom przyglądają się już uczniowie w szkole:
- Liczby pierwsze, czyli takie, które dzielą się tylko przez jeden i samą siebie,
- Równania diofantyczne, które poszukują całkowitych rozwiązań,
- Dzielniki, pozwalające podzielić daną liczbę w całości, bez reszty,
- jak również reszty kwadratowe, kongurencje, liczby doskonałe.
Inne z kolei są zbyt skomplikowane i porusza się je najczęściej dopiero na studiach matematycznych i pochodnych, pasujących na nauce rozszerzonej matematyki.
Klasyfikacja i podział teorii liczb
Z pozoru całość wygląda na bardzo podstawowe i proste zagadnienie, ale im bardziej się zagłębić w szczegóły, tym teoria rozszerza się na kolejne działy i obszary zastosowań. Możemy wyróżnić teorię liczb:
- elementarną,
- analityczną,
- algebraiczną,
- geometryczną,
- kombinatoryczną,
- probabilistyczną.
Oprócz tego analityczna teoria liczb ma dwa duże poddziały: multiplikatywny oraz addytywny. Część matematyków do tego zestawienia dopisuje jeszcze teorię sit (niektórzy słusznie zauważają, że jej podstawy sięgają spostrzeżeń elementarnych i zamiast klasyfikować ją wśród innych poddziałów analitycznych, traktują ją jako osobną przestrzeń).
Twierdzenia i hipotezy
Trzy bardzo ciekawe twierdzenia, jakie bardzo często pojawiają się w kontekście omawiania teorii liczb, to:
- Twierdzenie Waringa. Jedno z kluczowych zagadnień, które porusza mechanizmy zachowań liczb naturalnych mogących być wyrażanymi za pomocą potęg innych liczb naturalnych.
- Hipoteza Goldbacha. Polega ona na domniemaniu, że liczby parzyste, jeśli są większe od 2, mogą być zapisywane jako suma dwóch liczb pierwszych.
- Twierdzenie Fermata. To bardzo ciekawa obserwacja, wg. której dla każdej liczby pierwszej p i dla każdego dodatniego całkowitego n, równanie x^n + y^n = z^n nie ma dodatnich całkowitych rozwiązań x, y, z , jeśli n jest większe od 2.
To oczywiście nie koniec ciekawych koncepcji związanych z teorią liczb. Warto pamiętać, że pierwsze obserwacje związane z tą dziedziną były prowadzone już przez starożytnych. Prawdziwy rozkwit tej nauki – wtedy też zyskała status samodzielnej – nastąpił po XVII w. naszej ery, między innymi za sprawą wspomnianego powyżej Pierre de Fermata.
Bibliografia – ciekawe książki z informacjami na temat teorii liczb
Osoby chcące zgłębiać tajniki matematyki, prędzej czy później będą musiały pojawić się w bibliotece lub księgarni. Podsuwamy kilka ciekawych propozycji, a wspomniany na wstępie Wacław Sierpiński jest na szczycie listy:
- „250 zadań z elementarnej teorii liczb” – Wacław Sierpiński,
- „O stu prostych, ale trudnych zagadnieniach arytmetyki. Z pogranicza geometrii i arytmetyki” – Wacław Sierpiński,
- „Szeregi liczbowe w analizie matematycznej i w teorii liczb” (opracowanie zbiorowe),
- „Wykład z teorii liczb i kryptografii” – Neal Koblitz,
- „Spotkanie z matematyką” – L. Gårding,
- „Teoria liczb” – Władysław Narkiewicz,
- „Algebra i teoria liczb” – Adam Neugebauer,
- „Elementarna teoria liczb” – Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki,
- „Teoria liczb w informatyce” – Yan Song Y.
To nie koniec bardzo długiej listy publikacji, wykładów, nagrań i kursów związanych z teorią liczb. Źródeł wiedzy jest naprawdę dużo, a najbardziej polecamy te pochodzące od wykładowców akademickich.
Gdzie jeszcze szukać pomocy i wskazówek?
W wielu przypadkach dobrze jest, gdy dane zagadnienie może być poruszone i przećwiczone z kimś, kto ma bardzo szeroką wiedzę w konkretnej dziedzinie. Nie każdy jest w stanie chwycić za którąkolwiek z książek z powyższej listy, przeczytać ją i zrozumieć choćby 25% treści. Bardzo często pomocna okazuje się rozmowa, naprowadzenie, podsunięcie rozwiązań i… nieco szybsze przetarcie szlaków.
Dokładnie tego można spodziewać się podczas zajęć w ramach BUKI School. Poziom jest dostosowany do matematycznego zapotrzebowania ucznia, a cykliczność pomaga w jeszcze lepszym opanowaniu materiału. Takie korepetycje z najlepszymi nauczycielami, w tym pracownikami naukowymi, zazwyczaj skutkują szybszym przyswojeniem wiadomości i możliwością podejścia do wielu, ciekawych ćwiczeń.
